Septiembre 11-12, Opción A

Una partícula de masa m = 25 g, unida a un muelle de constante elástica k = 10 N/m, oscila armónicamente con una amplitud de 4 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento.

a)      Deducir la expresión de la aceleración de la partícula en función del tiempo y represéntala gráficamente. Indique sobre dicha gráfica qué instantes de tiempo corresponden al paso de la partícula por las posiciones de equilibrio y de máxima elongación. (Tome el origen de tiempos cuando la partícula pasa con velocidad positiva por la posición de equilibrio, x = 0 ).

b)      Calcule las energías cinética y potencial elástica de la partícula cuando se encuentra en la posición x = 1 cm.

 SOLUCIÓN

1. Si tomamos el origen de tiempos cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio con velocidad positiva, la ecuación que representa el M.A.S. es x = A·sen(ω·t)

A partir de la expresión de la aceleración de un movimiento armónico ( a = -ω²·x) o bien derivando con respecto al tiempo dos veces la ecuación del movimiento, obtendremos la ecuación de la aceleración en función del tiempo: a = - A·ω²· sen(ω·t)

Por otro lado, la frecuencia angular con que oscila un cuerpo unido a un muelle es ω² = k/m

Por lo que en nuestro caso ω = 20 rad/s

Así pues, la expresión de la aceleración será:

a = -16·sen(20·t)

La representación gráfica de esta función es:

Cómo se puede concluir a partir de la ecuación del movimiento, la partícula pasa por la posición de equilibrio en los instantes t = 0, T/2, T, 3T/2, 2T, …y en esos instantes la aceleración es 0 pues  a = -ω²·x. El periodo lo podemos obtener a partir de T = 2π/ω = π/10 = 0,314 s

La partícula estará en las posiciones de máxima elongación en los instantes t = T/4, 3T/4, 5T/4, … que coinciden con los instantes de máxima aceleración, negativa en el primer valor, positiva en el segundo y así sucesivamente.

2. Recordando que la energía cinética se puede expresar en función de la posición como

E_c = ½·k·(A² – x²) = ½·10·(16·10^-4 – 1·10^-4) = 7,5·10^-3 J

Así mismo la energía potencial elástica será:

E_p = ½·k·x² = 0,5·10^-3 J