Una partícula de masa m = 4 g oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma x(t) = A · cos (ω·t) con una amplitud de 5 cm y un periodo de oscilación T = 0,2 s. Determinar y representar gráficamente:

1. La velocidad de la partícula en función del tiempo.

2. Las energías cinética y potencial en función de la posición x. Calcular la energía mecánica de la partícula

SOLUCIÓN

La ecuación de la elongación (x) corresponde a:

x (t) = 0,05 · cos (10 π t) (x en m y t en s)

Recordando que la frecuencia angular se puede hallar a partir de:

ω = 2 · π /T = 2 · π /0,2 = 10 π rd/s

Le ecuación de la velocidad en función del tiempo se obtiene derivando la ecuación de la elongación en función del tiempo.

v (t) = - 0,5· π · sen (10 π t)             (v en m/s y t en s)

Representando gráficamente la ecuación anterior:

2. Teniendo en cuenta la relación entre la frecuencia angular (w), la masa (m) y la constante elástica (k): ω² = k/m, despejando:

k = m · ω² = 4·10^-3 · (10 · π)² = 0,4 · π²

Energía cinética en función de la posición:

E_C = ½ · m v² = ½· k (A² - x²) = 0,2 · π² (0,05² - x²)                 (Ec en J y x en m)

Energía potencial en función de la posición:

E_PE = ½ · k x² = 0,2 · π² x²             (Ep en J y x en m)

Representando gráficamente ambas ecuaciones en la misma gráfica (en rojo la E. Cinética y en azul la E. Potencial elástica)

 

La energía mecánica corresponde a la suma de las energías cinética y potencial elástica:

E_M = 0,2 · π² (0,05² - x²) + 0,2 · π² x² = 0,2 · π² · 0,05² = 5·10^-4 · π²  J