Junio 10-11, Opción B
Atrás Arriba Siguiente

 

 Una bolita de masa m = 0,5 kg, apoyada sobre una superficie horizontal sin rozamiento, está unida a una pared mediante un muelle de masa despreciable y constante recuperadora k = 50 N/m. Se desplaza m hacia la derecha 2 cm, y se suelta con velocidad nula de forma que la bolita comienza a oscilar armónicamente en torno a su posición de equilibrio, O.

  1. Determine la frecuencia ω y el periodo T de la oscilación. Escriba la ecuación del movimiento armónico de la bolita.

  2. Represente gráficamente la velocidad de m en función del tiempo.

  3. Calcule la energía mecánica de m.

SOLUCIÓN

  1. Recordando la relación entre frecuencia angular (ω) y constante elástica (k): ω² = (k/m), sustituyendo los datos del enunciado, se obtiene:

ω = 10 rad/s

Expresando la frecuencia angular en función del periodo (ω = 2·π /T), despejando el periodo:

T = 0,2·π s

Para expresar la ecuación del movimiento armónico de la bolita, tomamos como origen de tiempos el momento en el que se suelta la bolita (extremo derecho del dibujo) y la ecuación corresponde a la forma: x = A · cos (ω·t)

x (t) = 0,02 · cos 10 t (x en m y t en s)

  1. La expresión de la velocidad de la bolita en función del tiempo se obtiene derivando la ecuación de la elongación respecto a t:

v (t) = 0,02 · 10 · (- sen 10 t) = - 0,2 · sen 10 t (v en m/s y t en s)

Representando gráficamente la ecuación anterior

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Una forma de calcular la energía mecánica es utilizar la expresión de la energía potencial elástica máxima (energía mecánica de la bolita en cualquiera de ambos extremos, siendo su energía cinética en esos puntos igual a 0): EM = ½· k· A². Sustituyendo los datos del enunciado:

EM = E P máxima = ½ · 50 · 0,02² = 0,01 J

También podríamos calcularla a partir de la velocidad máxima que tiene la bolita cuando pasa por el punto de equilibrio (energía potencial elástica igual a 0):

EM = E cinética máxima =½ · m · v²max = ½ · 0,5 · 0,2² = 0,01 J

Siendo vmax = ±A · ω = ± 0,02 · 10 = 0,2 m/s

Como la energía mecánica es constante (sólo actúa la fuerza elástica que es conservativa), en cualesquiera otros puntos del movimiento, a excepción de los citados anteriormente, los valores de la energía cinética y potencial elástica serán distintos de cero y la suma de ambas energías será de 0,01 J.