Junio 02/03 Opción B
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Un satélite artificial describe una órbita elíptica, con el centro de la Tierra en uno de sus focos.

  1. En el movimiento orbital del satélite, ¿se conserva su energía mecánica? ¿Y su momento angular respecto al centro de la Tierra? Razona tus respuestas.
  2. Supón que se conocen las distancias máxima y mínima del satélite al centro de la Tierra (apogeo y perigeo), RA y Rp respectivamente. Plantea razonadamente, sin resolverlas, las ecuaciones necesarias para determinar las velocidades orbitales del satélite en estos puntos, VA y Vp.

Datos: constante de gravitación universal, G. Masa de la Tierra, M.

 

SOLUCIÓN

  1. Conservación Energía mecánica:

Sobre un satélite que describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra, se ejerce una única fuerza, que es la de atracción gravitatoria.

Como la fuerza de gravitación es una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva a lo largo de la órbita. Esto es, la suma de la energía cinética y la potencial gravitatoria del satélite permanece constante.

Si la órbita es circular, la energía cinética es constante al igual que la energía potencial gravitatoria.

Si la órbita es elíptica, la fuerza gravitatoria puede descomponerse en una componente normal (encargada de modificar la dirección de la velocidad) y otra componente tangencial (encargada de modificar el módulo de la velocidad). Esta última componente realiza el trabajo que corresponde a la variación de las energías cinética y potencial. Como la energía mecánica se mantiene constante por ser la fuerza gravitatoria una fuerza conservativa, esto se traduce en que en los puntos más cercanos a la Tierra (perigeo) la energía cinética aumenta y por lo tanto, la potencial disminuye, mientras que en los puntos más alejados (apogeo) sucede lo contrario.

Conservación momento angular:

La variación del momento angular de un cuerpo respecto a su centro de giro viene medida por el momento de la fuerza que se ejerce sobre él:

Una de las condiciones para las que el momento de la fuerza se anula y, por lo tanto, el momento angular de un cuerpo permanece constante es cuando r y F son paralelos, esto es, la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo es central.

Como la única fuerza que se ejerce sobre el satélite es la fuerza gravitatoria y es una fuerza central, el momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra permanece constante a lo largo de la órbita.

 

  1. Basándose en la conservación de la energía mecánica y del momento angular del satélite en la órbita, se pueden plantear las siguientes ecuaciones para calcular las velocidades en el apogeo (VA) y en el perigeo (VP):

Conservación del momento angular:

Simplificando:

Conservación de la energía mecánica:

Simplificando: