Septiembre 98-99, Opcin A
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Una cuerda tensa de longitud L = 1 m, situada a lo largo del eje OX y fija por sus dos extremos, se excita transversalmente de modo que se produce una onda estacionaria de ecuación Y = 0,01 sen (2π x) cos (200π t) donde todas las magnitudes se expresan en unidades del S.I. y el origen de coordenadas se ha tomado en el extremo izquierdo de la cuerda.

  1. Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas que viajan por la cuerda.

  2. Representa la onda estacionaria, indicando la posición de los nodos y los vientres.

SOLUCIÓN

  1. Comparando la ecuación dada con la ecuación general de una onda estacionaria, obtenemos la siguiente información:

Y = 0,01 sen (2πx) cos (200πt)

Y = 0,01 sen (kx) cos (ω t)

Número de ondas (k) = 2π (m-1 )   ⇒   longitud de onda (λ ) = 2π /2π = 1 (m)

Frecuencia angular (ω ) = 200π (rd/s)

Velocidad de propagación (v) = longitud de onda (λ ) frecuencia (f)

v = λ f = λ (ω / 2π ) = ω / k = 100 (m/s)

 

  1. Como la longitud de la cuerda coincide con la longitud de onda, existirán 3 nodos (puntos 0, 0.5 m, 1 m) y dos vientres (0.25 m y 0.75 m)

La posición de los nodos y los vientres se obtienen de la resolución de la ecuación de la onda estacionaria.

NODOS:

Amplitud nula: 0,01 sen (2πx) = 0   ⇒   sen (2πx) = 0 Þ

2πx = n π (siendo n un número entero)

Despejando x, se obtiene:    x = n /2

Para n = 0: xn1 = 0 m

Para n = 1: xn2 = 0.5 m

Para n = 0: xn3 = 1 m

VIENTRES:

Amplitud máxima: 0,01 sen (2π x) = ± 0.01   ⇒   sen (2π x) = ± 1   ⇒  

2p x = (2n + 1) (π /2) (siendo n un número entero).

Despejando x, se obtiene:     x = (2 n + 1) / 4

Para n = 0: xv1 = 0.25 m

Para n = 1: xv2 = 0.75 m