Septiembre 15-16, Opción A

Una partícula de masa m describe, sobre el eje x, un M.A.S. de amplitud A y frecuencia angular ω. En t = 0 pasa por la posición de equilibrio, donde tomamos x = 0.

a)      Escriba las ecuaciones de la posición y la velocidad de la partícula en función del tiempo.

b)      Calcule la energía potencial y cinética de la partícula en función del tiempo.)

c)       ¿Para qué valores de t será máxima la energía potencial? ¿Y la energía cinética?

Datos: m = 0,5 kg, A = 2 m, ω = 2 rad/s.

SOLUCIÓN:

a)      Resulta más sencillo usar la función seno al pasar la partícula por x = 0 en t = 0

La ecuación de la posición será:

x = A sen (ω·t) = 2·sen (2·t)

Y la de la velocidad

v = Aω cos (ω·t) = 4·cos (2·t)

b)      La energía potencial E_p = ½·k x², por lo que debemos obtener la constante elástica k

K = ω²·m = 2 N/m

Por tanto la expresión de la energía potencial en función del tiempo será

E_P(t) = ½ m ω²·A²·sen²(ω·t) = 4·sen²(2·t)

La energía cinética será:

E_C(t) = ½ m·A² ω² cos²(ω·t) = 4·cos²(2·t)

c)       La energía potencial será máxima cuando sen²(2·t) = 1

Es decir, cuando sen (2·t) = ± 1

Esto ocurre cuando 2t = (2n+1)·π/2

Luego           t =  (2n+1)·π/4 = 0,785 s , 2,356 s, 3,927 s, ….    

Es decir para T/4, 3T/4, 5T/4, ….       Con T = 2·π/ω = π s

Razonando idénticamente con la expresión de la energía cinética obtendremos que será máxima cuando cos (2·t) = ± 1

Esto ocurre cuando 2t = n·π

Luego           t = n·π/2 = 0 s ,  1,571 s ,  3,1416 s  , 4,712 s , ….

Es decir para 0, T/2, T, 3T/2, …