Junio 16-17, Opción B

Una partícula describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje x, de amplitud A = 2 m, frecuencia angular ω = 2 rad · s^-1 y fase inicial nula.

a)   Determine la posición y la velocidad de la partícula en función del tiempo.

b)   Calcule la energía cinética y la energía potencial de la partícula en función del tiempo. Represente la energía cinética para dos periodos de oscilación completos.

Datos: Masa de la partícula: 100 g

SOLUCIÓN

a)      La ecuación de un movimiento armónico simple a lo largo del eje X se puede escribir como

x = A·cos(ωt+φ₀)

o como

x = A·sen(ωt+φ₀)

En nuestro caso al ser la fase inicial nula deberemos hacer φ₀ = 0

Se podría pensar que el enunciado quiere decir que la posición inicial es la situación de equilibrio, es decir x₀ = 0, con lo que sería más cómodo usar la función seno (y es lo que haremos en esta resolución). Pero sería igualmente válido usar la función coseno y poner 0 como valor de la fase inicial.

Así pues la posición de la partícula en función del tiempo vendrá dada por:

x = 2·sen(2t)

Derivando con respecto al tiempo obtendremos la expresión de la velocidad:

v = dx/dt = 4·cos(2t)

b)      La energía cinética será por tanto:

E_c =1/2·m·v² = 0,8·cos²(2t)

Y la energía potencial:

E_p =1/2·K·x² = 0,8·sen²(2t)

Donde hemos usado que la frecuencia de oscilación es ω² = K / m

Para hacer la representación de la energía cinética para dos periodos completos debemos calcular dicho periodo.

Sabemos que T =2π/ω

Luego T = π s

La representación gráfica será pues: