Junio 98-99, Opción A
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Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en torno al origen de un eje OX, con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 5 cm.

  1. Calcula la velocidad de la partícula cuando pasa por el origen.

  2. Determina y representa gráficamente la energía cinética de m en función del tiempo. Toma origen de tiempo, t = 0, cuando la partícula m pasa por x =0.

 

SOLUCIÓN

  1. Determinación de la velocidad: 

Deducimos en primer lugar la ecuación de la elongación en función del tiempo para, posteriormente, derivándola, obtendremos la ecuación de la velocidad en función del tiempo.

x = 5·10-2 sen (10·π ·t +φ0)

φ0 corresponde al desfase inicial. Para calcularlo se tienen en cuenta las condiciones iniciales que nos indica el enunciado en su apartado b). Sustituyendo en la ecuación t = 0 y x = 0 cm, obtenemos:

sen φ0 = 0; el primer valor que cumple esa condición es φ0 = 0.

(Si se hubiese tomado la función coseno, el desfase inicial nos hubiera dado un valor de π /2 radianes, y la relación entre las funciones trigonométricas de ángulos que se diferencian en π /2 radianes es: cos (α + π /2) = sen α , y hubiésemos obtenido la misma ecuación).

Por lo tanto,

x = 5·10-2 sen (10·π ·t) (x en m y t en sg.)

Hallamos la ecuación de la velocidad derivando la expresión anterior respecto al tiempo:

Sustituyendo los valores correspondientes:

v = 5·10-1 ·π ·cos (10·π ·t) (v en m/s y t en sg.) (1)

La velocidad máxima corresponde a la velocidad que lleva la partícula cuando pasa por el punto de equilibrio (x = 0). El valor máximo de la ecuación anterior corresponderá cuando la función trigonométrica del coseno adquiera el valor absoluto máximo (+1 o –1). En esas condiciones, la velocidad máxima toma el valor:

Vmax = 0,5·π m/s

  1. Energía cinética de la masa m en función del tiempo:

En la expresión general de la energía cinética, sustituimos la velocidad por la ecuación anterior (1), y obtenemos la expresión de la energía cinética de la masa m en función del tiempo:

Ec = ˝ · m · v˛ = ˝ · m · (5·10-1 ·π ·cos (10·π ·t))˛

Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos

Ec = 1,23·10-2 · cos˛ (10·π ·t) (J)

Representación gráfica de la energía cinética en función del tiempo:

Para representar la energía cinética en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior, comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...

Recordamos que el periodo es el inverso de la frecuencia, T = 1/f.

La gráfica obtenida es la siguiente: