Junio 05-06, Opción A

Una partícula de masa m, que sólo puede moverse a lo largo del eje OX, se sitúa inicialmente (t = 0) en la posición x = x₀ y se libera con velocidad nula. Sobre ella actúa una fuerza, dirigida según el eje OX, F = -k x, donde k es una constante positiva.

1. ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula? Describe analítica y gráficamente cómo dependen del tiempo su posición, x(t), y su velocidad, v(t).

2. Para m = 0,1 kg, k = 30 N/m y x₀ = 5 cm, calcula las energías cinética y potencial de la partícula cuando pasa por x = O.

1. Sobre la partícula de masa m situada inicialmente en el punto de coordenada x₀, con velocidad nula actúa una fuerza F = - k·x .

Como la coordenada x inicial es positiva, la fuerza tendrá sentido negativo y comenzará a moverse hacia la izquierda con una aceleración:

m·a = - k·x

Como F depende de la posición y de signo contrario, irá disminuyendo hasta el punto de coordenada x = 0, en el que se anulará, y en el que adquiere la máxima velocidad.

A partir de esa posición continuará moviéndose hacia la izquierda y como la fuerza neta cambia de sentido (valores de x negativos), su velocidad irá disminuyendo hasta que se detenga en el punto de coordenada x = - x₀.

A partir de ese punto comienza a moverse hacia la derecha aumentando su velocidad hasta el punto de coordenada x = 0, y a partir de ahí, como la fuerza vuelve a cambiar de sentido, disminuye su velocidad hasta detenerse en el punto de coordenada x = x₀.

De nuevo vuelve a repetirse el ciclo.

La partícula adquiere un movimiento vibratorio armónico simple (MAS)

Dependencia de la posición en función de tiempo:

Como la posición inicial (t= 0) es el punto de máxima distancia del punto de equilibrio (x = o) podemos utiliza la ecuación:

x = x₀ · cos (ω·t)

x representa la posición en cualquier instante t

x₀ representa la máxima deformación respecto al equilibrio (amplitud del movimiento)

ω representa la frecuencia angular y que puede expresarse en función de la constante k y de la masa m

y, por otra parte, la frecuencia angular y el periodo están relacionados:

Uniendo ambas ecuaciones:

Así pues la ecuación que describe la posición de la partícula de masa m en cualquier instante es:

La representación gráfica de la ecuación anterior corresponde a:

Dependencia de la velocidad en función de tiempo:

Hallamos la velocidad de la partícula derivando la ecuación de la posición respecto a t.

La representación gráfica de la ecuación anterior corresponde a:

2. Energía potencial elástica: E_p = ½ · k · x²

En el punto de coordenada x = 0, la energía potencial elástica es 0

Energía cinética: E_C = ½ · m · v²

En el punto de coordenada x = 0, la energía cinética será máxima (punto en el que la velocidad es máxima):

La velocidad será máxima cuando el valor del seno del ángulo sea ± 1

Sustituyendo los datos del enunciado se obtiene:

E_{C, máxima} = 3,75 · 10^-2 J