Septiembre 97/98, Opcin B
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  1. Momento angular de una partícula: definición; teorema de conservación.

  2. Un satélite artificial, de masa m = 200 kg describe una órbita circular de radio R = 6700 km en torno a la Tierra. Calcula su momento angular respecto al centro de la Tierra. Es constante?. Por qué?.

Datos: MT = 61024 Kg; G = 6,6710-11 Nm/kg

 

SOLUCIÓN

  1. Momento angular (L) de una partícula de masa "m" que se mueve con una velocidad "v" respecto al origen de referencia "O" es igual al producto vectorial del vector posición "r" y el vector momento lineal "p".

El resultado del producto vectorial de los dos vectores corresponde a otro vector que tiene las siguientes características:

Módulo del vector "L": viene dado por la expresión L = mvrsen a , siendo a el ángulo formado por los vectores "r" y "p".

Dirección del vector "L": es perpendicular al plano formado por los vectores "r" y "p".

Sentido del vector "L": es el sentido de giro de un sacacorchos que gira según el sentido del vector "r" sobre el vector "p".

 

Teorema de conservación:

Para hallar las condiciones en las que el momento angular permanece constante se halla su derivada respecto al tiempo.

Los vectores "v" y "p" son paralelos; por lo tanto su producto vectorial es cero.

El producto vectorial de los vectores "r" y "F" representa el momento de fuerza, MF,

Se puede concluir que la variación del momento angular de una partícula respecto al tiempo viene medida por el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula.

Las condiciones para las que el momento angular permanece constante deben cumplir que su derivada respecto al tiempo sea cero.

Para que esto se cumpla, el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula sea cero.

El momento de la fuerza será cero en los casos siguientes:

Ø No actúa ninguna fuerza.

Ø Los vectores "r" y "F" son paralelos. Éste es el caso de las llamadas fuerzas centrales, fuerzas dirigidas siempre a un punto concreto, que en este caso es el origen de referencia.

El momento angular de una partícula respecto a un punto de referencia permanece constante si sobre ella no se ejercen fuerzas o si las fuerzas que actúan son centrales.

 

  1. El momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra, considerando una órbita circular, tiene como módulo:

L = Rmvsen 90

R es el radio de la órbita, m es la masa del satélite y v es la velocidad orbital del satélite.

La velocidad orbital de un satélite se puede hallar a partir de que la fuerza de atracción comunica al satélite una aceleración centrípeta (modificación de la dirección de la velocidad), que en el caso de una órbita circular se llega a la siguiente expresión:

Sustituyendo los datos del enunciado, se obtiene el siguiente resultado para el momento angular:

L = 1,041013 (kgm2 /s)

El momento angular del satélite permanece constante porque la única fuerza que se ejerce sobre él es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra y se trata de una fuerza central (fuerza paralela al vector posición del satélite).

La constancia del momento angular supone que se ha conservar su módulo, dirección y sentido. Por lo tanto, la velocidad del satélite permanecerá constante (por ser r constante en una órbita circular) y además, la órbita es plana.