Junio 95-96, Opción A

1. Enuncia la tercera ley de Kepler y comprueba su validez para una órbita circular.

2. Un satélite artificial describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra, como se indica en la figura. Las velocidades en los extremos del eje mayor son v_A y v_B. Si la masa de la Tierra es M y la constante de gravitación G, calcula la distancia AB.

3. Explica razonadamente si v_A es mayor, igual o menor que v_B.

SOLUCIÓN

1. La tercera ley de Kepler se puede enunciar del modo siguiente:

"el cociente entre el cuadrado de los periodos de rotación de los planetas y el cubo de sus distancias medias al Sol se mantiene constante"

 

La comprobación que ese cociente se mantiene constante se puede realizar, para una órbita circular, partiendo de la Ley de gravitación universal de Newton.

La única fuerza que actúa sobre el planeta es la de atracción gravitatoria por parte del Sol, y es perpendicular a la velocidad; por lo tanto le comunica una aceleración centrípeta al planeta:

F_G = m_p·a_c

Recordando que la aceleración centrípeta corresponde al cociente entre la velocidad al cuadrado y el radio de giro (a_c = v² /r) y, como se trata de una órbita circular, la velocidad se puede calcular por el cociente entre la longitud recorrida en una vuelta completa (2·p ·r) y el tiempo invertido (T), se puede expresar de este modo:

 

Reorganizando los términos anteriores, se llega a:

 

El primer miembro corresponde a la tercera ley de Kepler.

De la igualdad anterior se deduce que la constante "k" de la tercera ley de Kepler es realmente constante para todos los planetas que orbiten alrededor del Sol, ya que depende de la constante de gravitación universal (G) y de la masa del Sol (M), también constante.

2. Al ser la fuerza gravitatoria una fuerza central, se conserva el momento angular, lo que nos permite relacionar las posiciones y las velocidades en los puntos A y B con la siguiente expresión:

r_A·v_A = r_B·v_B

Pero necesitamos otra ecuación que nos permita obtener r_A y r_B en función de los datos, para así poder obtener la distancia AB como suma de ambas distancias.

Para ello, debido a que la fuerza gravitatoria es conservativa, podemos emplear la conservación de la energía entre las situaciones A y B:

Resolviendo este sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, r_A y r_B, (TAREA LABORIOSA), obtenemos:

 

 

 

Con lo que, sumando ambas expresiones, obtenemos:

 

De la primera de las ecuaciones utilizadas en el apartado anterior deducimos que cuanto mayor es r menor es v y viceversa, por lo que v_A > v_B