Junio 06/07, Opción B
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La órbita de Plutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. La relación de distancias máxima y mínima entre su centro y el del Sol (afelio y perihelio) es Ra/Rp = 5/3. Razonando tus respuestas, calcula la relación (cociente) entre los valores en el afelio y en el perihelio de las siguientes magnitudes de Plutón:
  1. Momento angular respecto al centro del Sol

  2. Energía cinética

  3. Energía potencial gravitatoria

SOLUCIÓN

  1. La fuerza que mantiene en órbita al planeta Plutón es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce el Sol sobre él. Se trata de una fuerza conservativa, central y centrípeta y es la única que existe.

La variación del momento angular respecto al tiempo se mide por el momento de la fuerza resultante:

En este caso, la variación del momento angular de Plutón respecto al Sol viene determinado por el momento de la fuerza que se ejerce sobre él.

Como se trata de una fuerza central, los vectores r y F son paralelos, y en estas condiciones, el momento de la fuerza es cero; por lo tanto el momento angular de Plutón respecto al Sol permanece constante en todos los puntos de la órbita; por lo tanto:

  1. Como el momento angular se mantiene constante, podemos escribir:

M·Ra·va·sen 90 = M·Rp·vp·sen 90

donde M es la masa de Plutón.

Simplificando y teniendo en cuenta la relación de distancias dadas en el enunciado se tiene que la relación entre las velocidades del Plutón en el perihelio y el afelio es:

Por lo tanto, la relación entre los valores de energía cinética en ambos puntos:

Por lo tanto, la energía cinética en el perihelio es mayor que en el afelio, lógico ya que en el primer caso, el planeta se encuentra más cerca del Sol y según la 2ª ley de kepler, su velocidad será mayor.

  1. Conociendo la relación entre las distancias del planeta al Sol en el perihelio y en el afelio, podemos calcular la relación entre las energías potenciales en ambos puntos: