Septiembre 98/99, Opción A
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  1. Escribe la ley exponencial de desintegración radiactiva para núcleos inestables y comenta el significado físico de las magnitudes que aparecen en ella.

  2. El tiempo de vida media de 90Y es de 92,5 horas. Calcula su periodo de semidesintegración (o semivida). ¿Cuánto tiempo tarda la actividad de una muestra de 90Y en reducirse a la octava parte de la inicial?

SOLUCIÓN

  1. La radiactividad es un proceso espontáneo que tiene lugar en el núcleo de los átomos y que puede estudiarse mediante leyes estadísticas. La realidad es que no puede predecirse cuándo se desintegrará un núcleo concreto pero sí se puede determinar la probabilidad de que un núcleo cualquiera se desintegre.

Llamamos actividad de una sustancia radiactiva (A) al número de partículas emitidas por unidad de tiempo, o de otro modo, el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo.

En un proceso de desintegración radiactiva, el número de núcleos desintegrados (dN), en un tiempo (dt) es proporcional al número de núcleos presentes en un cierto instante y una constante característica de cada sustancia. Por lo tanto, se puede expresar la actividad de una sustancia (o velocidad de desintegración) como:

Ø N representa el número de núcleos presentes sin desintegrar

Ø λ corresponde a la constante radiactiva o constante de desintegración, característica de cada isótopo; representa la probabilidad por unidad de tiempo de que se desintegre un núcleo; si su valor es grande, la sustancia se desintegra muy rápidamente, y si es pequeña, el proceso será lento. Se mide en unidades inversas de tiempo.

Ø τ representa la vida media de un isótopo (corresponde al inverso de la constante radiactiva l ) y viene a representar un promedio de vida que se espera que tenga un núcleo. Se mide en unidades de tiempo.

Ø El signo – indica que el número de núcleos sin desintegrar va disminuyendo con el tiempo.

Ø La unidad de medida de la actividad en el S.I. es el Bequerel (Bq) que equivale a 1 desintegración por segundo.

Para conocer el estado de una muestra radiactiva se resuelve la ecuación anterior.

Resolviendo la integral:

y en forma exponencial:

o bien, en función de la vida media:

La ley de desintegración exponencial se puede expresar en función de la actividad de la muestra en cualquier instante. Teniendo en cuenta la definición de actividad de una muestra:

Sustituyendo y simplificando la constante radiactiva,

Otra constante característica de cada sustancia es el periodo de semidesintegración (T1/2) que representa el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los núcleos de la muestra inicial.

Para hallar la relación entre el periodo y la constante radiactiva basta con aplicar la ecuación anterior teniendo en cuenta que cuando haya transcurrido un tiempo igual a un periodo de semidesintegración, el número de núcleos que quedará sin desintegrar será la mitad del número inicial.

Simplificando y tomando logaritmos neperianos:

Subrayar que el periodo de semidesintegración es inversamente proporcional a la constante radiactiva (o directamente proporcional a la vida media). Para un valor alto del periodo, más lentamente se desintegra la sustancia y menor será la constante radiactiva.

 

  1. El periodo de semidesintegración lo podemos calcular según la ecuación anterior a partir de la vida media:

T1/2 = τ · ln 2 = 92,5 · ln 2 = 64,12 horas

Para calcular el tiempo que debe transcurrir para que la actividad de la muestra se reduzca a la octava parte se puede hacer de forma intuitiva. A partir del instante inicial,

Ø cuando haya transcurrido un tiempo igual a T1/2, el número de núcleos radiactivos se reduce a la mitad;

Ø cuando haya transcurrido un tiempo igual a 2 T1/2, el número de núcleos radiactivos se reduce a la mitad de la mitad, la cuarta parte de la muestra inicial

Ø cuando haya transcurrido un tiempo igual a 3 T1/2, el número de núcleos radiactivos se reduce a la mitad de la mitad de la mitad, la octava parte de la muestra inicial.

Luego el tiempo que debe transcurrir es igual a 3 periodos de semidesintegración

t1/8 = 3 · T1/2 = 3 · 64,12 = 192,36 horas

A partir de la ley exponencial de desintegración:

teniendo en cuanta que N = 1/8 de N0, simplificando y tomando logaritmos neperianos:

Simplificando y tomando logaritmos neperianos:

t1/8 = 192,36 horas