Junio 11-12, Opción A

Dos cargas eléctricas puntuales de valor q₁ = 80 nC, q₂ = - 40 nC , están situadas respectivamente en los puntos (-1,0) y (1,0) del plano XY como indica la figura. Determinar:

1. El vector campo electrostático E en los puntos A (0,0) y B (0,1). ¿En qué punto o puntos del plano se anula el campo E?

2. El trabajo que debemos realizar para trasladar una carga puntual q₃ = 0,2 nC desde el punto A hasta el punto B .

(Las coordenadas están expresadas en metros).

Datos: K = 1/(4πε₀) = 9.10⁹ N·m².C^-2; 1 nC = 10^{-9 C.}

 SOLUCIÓN

1.  Establecemos como vectores unitarios i y j orientados respectivamente hacia la derecha del eje X y hacia arriba del eje Y.

Vector campo electrostático en el punto A:

Si colocamos la unidad de carga positiva en el punto A, la acción de ambas cargas tendrá sentido hacia la derecha, por lo tanto positivo.

 E_A = E₁ + E₂ = E₁ (i) + E₂ (i)

Sustituyendo los datos del enunciado y considerando el valor absoluto de las cargas y que la distancia de cada una de las cargas al punto A es 1:

 E_A = 1080 (i) N/C

 Vector campo electrostático en el punto B:

Si colocamos la unidad de carga positiva en el punto B, la acción de la carga q₁ tendrá una dirección que forma un ángulo de 45º con el eje X y la acción de la carga q₂ tendrá una dirección que forma un ángulo de -45º con el eje X.

Para hallar el vector campo electrostático en el punto B deberemos trabajar con las componentes x e y de cada uno de los vectores E₁ y E₂

 E_B = E₁ + E₂ = [E_1x (i) + E_1y (j)] + [E_2x (i) + E_2y (-j)]

 Considerando que la distancia entre las cargas y el punto B es , y tomando los valores absolutos de las cargas:

 E_B = 254,6 (i) + 254,6 (j) + 127,3 (i) + 127,3 (-j) = 381,9 (i) + 127,3 (j) (N/C)

 E_B = 402,6 N/C

 α = arc tg (127,3 /381,9) = 18,4º

 Punto en el que se anula el vector campo electrostático:

En ese punto P ambos vectores (E₁ y E₂) deben tener el mismo módulo y sentidos opuestos. Esto sólo puede suceder en un punto situado a la derecha de la carga q₂. Llamando “d” a la distancia entre la carga q₂ y el punto P y considerando los valores absolutos de las cargas:

 E₁ = E₂

Simplificando y extrayendo la raíz cuadrada, se obtiene:

 d = 4,8 m

2. El trabajo que debemos realizar será igual al trabajo que realiza el campo electrostático cambiado de signo. Se puede hallar a partir de la variación de la energía potencial electrostática de la carga q₃, cambiada de signo, entre los puntos final e inicial.

 W_{campo electrostático} = - q₃ · ΔV = - q₃ · (V_B – V_A)

 W_nosotros = - W_{campo electrostático} = + q₃ · ΔV = + q₃ · (V_B – V_A)

  Hallamos el potencial en ambos puntos A y B.

 W_nosotros =  0,2·10^-9 · (255 – 360) =  - 2,1·10^-8 J

 El que este trabajo realizado por nosotros sea negativo quiere decir que debemos realizar el trabajo frenando a la partícula pues el propio campo eléctrico originado por ambas cargas tenderá a llevar la partícula desde el punto A al B