Septiembre 07-08, Opción A

1. Un cuerpo de masa m, unido al extremo libre de un muelle, realiza un movimiento armónico simple horizontal (sin rozamiento). Escribe y justifica las expresiones de las energías cinética, potencial y mecánica asociadas al mismo. Representa gráficamente dichas energías frente a la elongación.

2. Un cuerpo de masa m = 0,1 kg, unido al extremo libre de un muelle horizontal de constante k = 10 N/m, realiza oscilaciones de amplitud A = 8 cm. ¿Con qué velocidad se mueve la masa m cuando la elongación es de 4,8 cm? ¿Para qué valor de la elongación coinciden la energía potencial y la cinética?

SOLUCIÓN

1. Energía potencial elástica.

Como no hay rozamiento, la única fuerza que actúa sobre la masa m es la fuerza elástica que ejerce el muelle y que siempre tiene el sentido hacia el punto de equilibrio del sistema. Como se trata de una fuerza conservativa, al trabajo realizado por esa fuerza se le puede asociar la variación de una función de energía potencial cambiada de signo. Tomando como origen de energía potencial el punto de equilibrio, se obtiene una expresión para la energía potencial elástica:

E_{P. Elástica} = ½ · k · x²

En la que k corresponde a la constante elástica del sistema elástico y x la elongación de un punto cualquiera.

Energía cinética

E_C = ½ · m · v²

La relación entre la velocidad de un MAS y la elongación es:

Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior:

E_C = ½ · m · ω² · (A² – x²)

Recordando que 

E_C = ½ · k · (A² – x²)

Energía Mecánica

La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial:

E_Mecánica = E_P + E_C

E_Mecánica = ½ · k · x² + ½ · k · (A² – x²) = ½ · k · A²

Expresión que corresponde a la energía potencial elástica máxima que posee la masa m en uno de los dos extremos, en los que la velocidad es cero y por lo tanto la E_C también es cero en esos puntos.

Gráfica de la energía cinética y potencial elástica en función de la elongación: Consultar Junio 04/05, Opción A

2. La expresión de la velocidad de un MAS en función de la elongación es:

Recordando que

 

Sustituyendo en la expresión de la velocidad y tomando el punto x como 4,8 cm, obtenemos:

Para hallar el valor de la elongación para el que las energías cinética y potencial coinciden se halla igualando las expresiones de ambas energías en función de la elongación:

E_C = E_P

½ · k · (A² – x²) = ½ · k · x ²

Simplificando:

(A² – x²) = x²

A² = 2 · x²