Septiembre 04-05, Opción A

1. Escribe la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple y comenta el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación.

Un bloque de masa M = 0,4 kg desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con velocidad v₀ = 0,5 m/s. El bloque choca con un muelle horizontal de constante elástica k = 10 N/m. Tras el choque, M se queda enganchada en el extremo del muelle.

2. Calcula la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones de M.

3. Determina y representa gráficamente la posición del centro de M en función del tiempo, x(t), a partir del instante del choque (t =0), en el sistema de referencia indicado en la figura.

1. La ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple (MVAS) en función del tiempo corresponde a:

x: Elongación: Representa la posición de la partícula que describe un MVAS en un instante t determinado respecto a la posición de equilibrio (x = 0)

A: Amplitud: Representa la elongación máxima, esto es, la máxima separación de la partícula que describe un MVAS respecto al punto de equilibrio (x = 0)

ω: Frecuencia angular: Representa el mismo papel que la velocidad angular en un movimiento circular uniforme. Su relación con la frecuencia (f) o con el periodo (T) corresponde a:

f: Frecuencia: Representa el número de oscilaciones completas que realiza la partícula en la unidad de tiempo.

T: Periodo: Representa el tiempo que transcurre en una oscilación completa de la partícula.

(ω·t + δ): Fase del movimiento o ángulo de fase: Representa la posición angular de la partícula en un instante determinado (t) (Considerando la relación entre un MVAS y un movimiento circular uniforme).

δ: Fase inicial del movimiento o ángulo de fase inicial: Representa la posición angular de la partícula en el instante inicial (t = 0). Según sean las condiciones iniciales, se puede usar la función coseno o la función seno.

2. Al no considerar los rozamientos, la única fuerza que actúa después del choque es la fuerza elástica del muelle y se trata de una fuerza conservativa. Por lo tanto, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, toda la energía cinética de la masa M se transforma en energía potencial elástica. A partir de esta igualdad calculamos el valor de la máxima deformación que se produce en el muelle:

E_C = E_{P. elástica}

½ · M · v² = ½ · k ·A²

Simplificando y sustituyendo los datos del enunciado, se obtiene:

A = 0,1 m

Para hallar la frecuencia partimos de la relación entre la constante elástica (k), la masa (M) y la frecuencia angular (ω)

k = M · ω² = M · (2·π·f)²

Despejando, se obtiene:

f = 2,5 / π Hz = 0,8 Hz

3. Tomando como origen de referencia la posición del muelle en el instante del impacto (x = 0 en t = 0) podemos escribir la ecuación de la posición del centro de la masa M en función del tiempo del modo siguiente:

El valor de la amplitud A corresponde a la máxima deformación producida en el muelle.

x = 0,1 · sen (5 · t)

Para la representación gráfica de a elongación en función del tiempo tenemos en cuenta el valor del periodo del movimiento:

T = 1 / f = π / 2,5 s

De este modo, asignamos valores a t comprendidos entre 0 y π / 2,5 s y obtendremos los valores de la elongación para un periodo. Para los siguientes valores de t se volverán a repetir las elongaciones x de la partícula cada π / 2,5 s.