Junio 03-04 opción B

Enuncia las Leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de órbitas circulares Neptuno y la Tierra describen órbitas en tomo al Sol, siendo el radio medio de la primera órbita treinta veces mayor que el de la segunda. ¿Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita?. SOLUCIÓN Primera Ley de Kepler: "Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de sus focos" Segunda Ley de Kepler : "La línea imaginaria que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales". Esto significa que los planetas se mueven más deprisa cuanto más cerca están del Sol y más lentos cuanto más lejos. La ley puede expresarse también diciendo que "la velocidad areolar de los planetas es constante" donde A representa el "área barrida" por la línea imaginaria. Tercera ley de Kepler : "el cociente entre el cuadrado de los periodos de rotación de los planetas y el cubo de sus distancias medias al Sol se mantiene constante" El valor de la constante k depende del sistema que se considere. Tiene distinto valor si se trata del sistema Sol-planetas o del sistema Tierra-satélites o etc. La comprobación que ese cociente se mantiene constante se puede realizar, para una órbita circular, partiendo de la Ley de gravitación universal de Newton. La única fuerza que actúa sobre el planeta es la de atracción gravitatoria por parte del Sol, y es perpendicular a la velocidad; por lo tanto le comunica una aceleración centrípeta al planeta: FG = mp·ac Recordando que la aceleración centrípeta corresponde al cociente entre la velocidad al cuadrado y el radio de giro (ac = v2 /r) y, como se trata de una órbita circular, la velocidad se puede calcular por el cociente entre la longitud recorrida en una vuelta completa (2·p ·r) y el tiempo invertido (T), se puede expresar de este modo: Reorganizando los términos anteriores, se llega a: El primer miembro corresponde a la tercera ley de Kepler. De la igualdad anterior se deduce que la constante "k" de la tercera ley de Kepler es realmente constante para todos los planetas que orbiten alrededor del Sol, ya que depende de la constante de gravitación universal (G) y de la masa del Sol (M), también constante. Aplicando la tercera Ley de Kepler a los planetas Tierra y Neptuno: Según los datos del enunciado, recordando que el periodo de la Tierra es 1 año, sustituyendo, se obtiene: TN = 164,3 años terrestres