Junio 04-05, Opción A

Explica el concepto de campo gravitatorio creado por una o varias partículas. La Tierra es aproximadamente esférica, de radio RT = 6,37·106 m. La intensidad media del campo gravitatorio en su superficie es go = 9,81 m/s2. Calcula la densidad de masa media de la Tierra. ¿A qué altura h sobre la superficie de la Tierra se reduce g a la cuarta parte de go? G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 SOLUCIÓN Campo gravitatorio creado por una partícula de masa M en un punto P situado a una distancia r, también llamado Intensidad de campo gravitatorio: Representa la fuerza gravitatoria ejercida por la masa M sobre la unidad de masa colocada en el punto P. La unidad de campo gravitatorio es (N/kg) en el S.I. Para conocer de qué depende la intensidad de campo, se sustituye la expresión de la fuerza de atracción que ejerce la masa M: ur representa un vector unitario, dirección radial y de sentido desde el centro de la masa que crea el campo (M) hacia el punto P. De la expresión anterior se pueden extraer las siguientes consecuencias: Ø Es un vector radial y se dirige hacia el centro de M Ø Es independiente de que exista una masa en el punto P o no exista. Según la expresión anterior, su valor depende de la masa M que origina el campo y del inverso del cuadrado de la distancia al punto. Ø Dada la dependencia de g, todos los puntos situados a la misma distancia de la masa M tienen el mismo valor de intensidad de campo. Ø Tiene dimensiones de una aceleración. Campo gravitatorio creado por varias partículas de masa M1, M2, etc en un punto P : Dado el carácter vectorial de la intensidad de campo, si alrededor del punto P existen varias masas, el campo creado por todas ellas será la suma vectorial de cada uno de los campos individuales generados en ese punto por cada una de las masas. La densidad de un cuerpo se define como el cociente entre la masa y el volumen del cuerpo. Para hallar la densidad media de la Tierra, debe expresarse su masa en función de la aceleración de la gravedad y del radio de la Tierra (datos que proporciona el enunciado). Teniendo en cuenta que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es: Y que el volumen de la Tierra (considerándola como una esfera) Sustituyendo la masa y el volumen por las expresiones anteriores: Sustituyendo los datos del enunciado: ρ = 5512 kg/m 3 La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra corresponde a: La aceleración de la gravedad a una altura h sobre la superficie de la Tierra corresponde a: Dividiendo ambas expresiones entre sí: Sustituyendo gh por (g0 /4) y simplificando, se obtiene: Sacando la raíz cuadrada de ambos miembros, h = RT = 6,37·106 m