Junio 04-05, Opción B

1. ¿Qué es una onda estacionaria?. Explica qué condiciones deben cumplirse para que se forme una onda estacionaria en una cuerda tensa y fija por sus dos extremos.

2. Una cuerda de guitarra de longitud L = 65 cm vibra estacionariamente en su modo fundamental a una frecuencia f = 440 Hz. Representa gráficamente el perfil de esta onda, indicando la posición de nodos y vientres, y calcula la velocidad de propagación de ondas transversales en esa cuerda.

1. La onda estacionaria corresponde a un caso particular de interferencia entre dos ondas idénticas que se propagan en una zona limitada de un mismo medio y en sentidos opuestos.

Supongamos que se hace vibrar una cuerda sujeta en ambos extremos con distintas frecuencias de oscilación. El resultado es que en cada punto y en un mismo instante coinciden una onda que se desplaza en un sentido con esa misma onda reflejada en un extremo, produciéndose diversas situaciones. En concreto, y para determinadas frecuencias de oscilación, se forma una onda limitada entre ambos extremos en la que se aprecian claramente puntos fijos que no vibran (nodos) y puntos que vibran con la máxima amplitud (vientres). El número de nodos y vientres depende de la frecuencia de oscilación. En realidad no es exactamente una onda ya que cada punto mantiene su vibración con el tiempo; podemos decir que se trata de una onda no viajera.

Se puede obtener la ecuación de una onda estacionaria basta sumar la ecuación de una onda que se desplaza hacia la derecha con la ecuación de la misma onda que se desplaza hacia la izquierda:

La ecuación viene a representar un MAS con una amplitud variable (A’), que depende de x:

NODOS

Son nodos los puntos que su amplitud es cero (A’= 0). Esto significa que

sen (k·x) = 0

y por lo tanto:

k·x = 0, π, 2 π, 3 π, etc.

Recordando que el número de ondas (k) es igual a (2 π / λ), se puede encontrar la relación entre las posiciones (x) y la longitud de onda estacionaria:

x = 0, λ/2, λ, 3 λ/2, ...

En general, se puede escribir que los nodos se encuentran situados en:

siendo n = 0, 1, 2, 3 ....

Los nodos se encuentra en los puntos que corresponden a un número entero de media longitud de onda.

VIENTRES

Son vientres los puntos que su amplitud es máxima (A’= 2A). Esto significa que

sen (k·x) = ± 1

y por lo tanto:

k·x = π /2, 3 π /2, 5 π /2, etc.

y, por lo tanto

x = λ/4, 3 λ/4, 5 λ/4 ...

En general, se puede escribir que los nodos se encuentran situados en:

siendo n = 0, 1, 2, 3 ....

Los vientres se encuentra en los puntos que corresponden a un número impar de cuartos de longitud de onda.

2. Como la cuerda vibra en su modo fundamental, la longitud de la cuerda corresponde a media longitud de onda:

L = ½ λ₁

Siendo λ₁, la longitud de onda para el modo fundamental de vibración.

λ₁ = 2 · L = 1,3 m

El perfil de la cuerda corresponde a la figura siguiente:

La figura representa la cuerda en cuatro instantes distintos de un mismo periodo.

NODOS:

Amplitud nula: existen 2 nodos, uno en cada extremo (puntos 0 y 0,65 m)

Para n = 0, x = 0

Para n = 1, x = 0,65 m

VIENTRES:

Amplitud máxima: existe 1 vientre, en el centro de la cuerda (punto 0,325 m)

Para n = 0, x = 0,325 m

Velocidad de propagación de las ondas transversales:

v = λ₁ · f₁ = 1,3 · 440 = 572 m/s