Septiembre 01-02, Opción B

Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma representada en la figura.

1. Determina y representa gráficamente la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo.

2. ¿En qué instantes es máxima la energía cinética de la partícula?. ¿Qué valor tiene en esos instantes su energía potencial?.

1. La gráfica del enunciado del problema nos proporciona los siguientes datos:

Amplitud (elongación máxima): A = 2 cm; Periodo: T = 0,2 s. Condiciones iniciales: t = 0, x₀ = 2 cm.

Determinación de la velocidad: 

Deducimos en primer lugar la ecuación de la elongación en función del tiempo para, posteriormente, derivándola, obtendremos la ecuación de la velocidad en función del tiempo.

x = 2 cos (10·p ·t +)

φ₀ corresponde al desfase inicial. Para calcularlo se tienen en cuenta las condiciones iniciales que nos proporciona la gráfica. Sustituyendo en la ecuación t = 0 y x = 2 cm, obtenemos:

cos φ₀ = 1; el primer valor que cumple esa condición es φ₀ = 0.

Por lo tanto,

x = 2 cos 10·π ·t (x en cm y t en sg.)

Hallamos la ecuación de la velocidad derivando la expresión anterior respecto al tiempo:

Sustituyendo los valores correspondientes:

v = - 20·π ·sen 10·π ·t (v en cm/s y t en sg.)

Representación gráfica de la velocidad en función del tiempo:

Para representar la velocidad en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior, comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...

La gráfica obtenida es la siguiente:

 

Determinación de la aceleración: 

La aceleración la podemos calcular derivando respecto al tiempo la ecuación de la velocidad:

Sustituyendo los valores correspondientes:

a = - 200·π ²·cos 10·π ·t (a en cm/s² y t en sg.)

Representación gráfica de la aceleración en función del tiempo:

Para representar la aceleración en función del tiempo, se procede de modo similar a la gráfica anterior.

La gráfica obtenida es la siguiente:

 

2. La fuerza elástica, responsable de que la partícula oscile armónicamente a lo largo del eje OX, es una fuerza conservativa. Al ser la única fuerza que actúa, el trabajo de las fuerzas disipativas será 0 y por lo tanto, la variación de la energía mecánica será 0. La energía mecánica se conserva.

Esto nos lleva a que en todo punto de la oscilación, la suma de la energía cinética y la energía potencial (energía mecánica) de la partícula se conserva.

E_M = Ec + Ep = Constante

La partícula tendrá una energía cinética máxima cuando su velocidad sea máxima.

Los instantes en los que la velocidad es máxima se obtienen a partir de la ecuación de la velocidad en función del tiempo: v = - 20·π ·sen 10·π ·t = - 20·p ·sen (2·π /T)·t

La velocidad será máxima para aquellos valores de t que hagan que la función seno adquiera sus máximos valores (+1 o –1). Esta situación corresponde para fases (ángulos) de π , 3π /2, 5π /2, etc. radianes.

Hallamos los instantes en función del periodo (T):

(2·π /T)·t = (2n-1)·π /2 (pudiendo tomar n los valores 1, 2, 3, etc.)

Despejando t de la expresión anterior, obtenemos:

t = (2n-1)(T/4)

El resultado nos lleva a que para valores de t que corresponden a un número impar de cuartos de periodo, la velocidad es máxima.

La energía potencial de una partícula que oscila armónicamente a lo largo del eje OX es:

Para hallar el valor de la energía potencial en los instantes en los que la energía cinética es máxima (número impar de cuartos de periodo), sustituimos esos valores de tiempo en la ecuación anterior:

El resultado es conforme a lo que cabía esperar, dado que la energía mecánica se conserva, lo que significa que en los instantes en los que la energía cinética sea máxima, la energía potencial será mínima; y viceversa.