Junio 97-98, Opción A

Un péndulo simple está construido con una bolita suspendida de un hilo de longitud L = 2m. Para pequeñas oscilaciones, su período de oscilación en un cierto lugar resulta ser T = 2,84s.

1. Determina la intensidad de campo gravitatorio en el lugar en el que se ha medido el período.

2. Considera que el movimiento de la bolita es práctica mente paralelo al suelo, a lo largo de un eje OX con origen O, en el centro de oscilación. Sabiendo que la velocidad de la bolita cuando pasa por O es de 0,4 m/s, calcula la amplitud de la oscilación y representa gráficamente su posición en función del tiempo, x(t). Toma como origen para el tiempo, t=0, en un extremo de la oscilación.

1. La intensidad de campo gravitatorio se puede obtener de la ecuación del periodo de un péndulo simple.

L representa la longitud del péndulo simple, g es la intensidad de campo gravitatorio en el punto en que oscila el péndulo (de hecho es un método para determinar la intensidad de campo gravitatorio en cualquier punto) y T es el periodo.

Elevando al cuadrado y despejando g, obtenemos:

 

2. La velocidad de la bolita cuando pasa por el centro de oscilación (punto O) corresponde a la velocidad máxima. Deducimos la ecuación de la velocidad en función del tiempo para luego poder hallar la velocidad máxima.

Determinación de la velocidad: 

Deducimos en primer lugar la ecuación de la elongación en función del tiempo para, posteriormente, derivándola, obtendremos la ecuación de la velocidad en función del tiempo.

φ₀ corresponde al desfase inicial. Para calcularlo se tienen en cuenta las condiciones iniciales que nos indica el enunciado, en su última línea: se toma como origen de tiempo uno de los extremos de la oscilación, esto es: t = 0 à x₀ = A. Sustituyendo en la ecuación estos valores, obtenemos:

cos φ₀ = 1; el primer valor que cumple esa condición es φ₀ = 0.

Por lo tanto,

x = A cos w·t

Hallamos la ecuación de la velocidad derivando la expresión anterior respecto al tiempo:

La velocidad máxima corresponde al instante en el que la función trigonométrica toma el valor máximo (+1, -1). En ese instante,

v_max = ± A ω

Como ω = 2 π/T

A = v_max · T/(2 π ) = 0,18 m

Representación gráfica de la elongación en función del tiempo:

Sustituyendo el valor hallado para la amplitud en la ecuación de la elongación en función del tiempo:

x = 0,18 cos (0,7 π t)

Para representar la elongación en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior, comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...

La gráfica obtenida es la siguiente: