La partícula de masa m = 10 g de la figura 1.a describe el movimiento armónico simple en torno a su posición de equilibrio representado en la figura 1.b (rozamiento despreciable).

1. Escribe la expresión de la elongación, en función del tiempo, indicando el significado y valor numérico de cada parámetro.

2. Representa la evolución temporal de la energía potencial elástica y la energía total de la partícula

SOLUCIÓN

1. La ecuación general de un movimiento armónico simple la podemos escribir como:

Donde:

A es la amplitud o elongación máxima, máxima separación de la partícula con respecto a la posición de equilibrio. En nuestro caso podemos observar en la gráfica que A = 8 cm = 0,08 m

ω es la frecuencia angular o pulsación, relacionada con el periodo como

Que en nuestro caso podemos obtener a partir del dato del periodo, tiempo que tarda en repetirse el movimiento, 2 s

Por lo que ω = π rad/s

Finalmente δ es la fase inicial o desfase, valor que ajusta la función seno para que describa el movimiento.

Para obtenerlo obligamos a la función descrita a que en t = 0 s el valor de la elongación sea 4 cm. Por lo que debe cumplir la condición :

0,04 = 0,08 sen(δ)

Lo que nos lleva a la solución más sencilla: δ = π/6 rad

Por tanto la ecuación solicitada es:

x = 0,08 sen(π·t + π/6)

2. La expresión de la energía potencial elástica es E_pe = ½ k x²

Necesitamos pues obtener el valor de la constante elástica del muelle. Para ello utilizamos la expresión de la frecuencia a que oscila un cuerpo de masa m unido a un muelle de constante elástica k

ω² = k/m

Por tanto k = 0,01π² N/m

Representaremos pues la función: E_pe = ½·0,01π²·0,08² sen²(π·t + π/6)

Por otro lado, la fuerza elástica es conservativa por lo que, al ser la única fuerza que actúa, la energía mecánica total del sistema se conservará y será igual al valor de la máxima energía potencial (cuando su energía cinética se anula)

E_TOT = ½ k·A²

Representemos ambas ecuaciones