Septiembre 07/08 Opción A
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El satélite Giove-B tiene una masa m = 500 kg y su órbita, supuesta circular, se encuentra a una distancia de 2,32·104 km de la superficie terrestre. Determina:

  1. Energías potencial y cinética del satélite en su órbita.

  2. Periodo orbital y módulo del momento angular respecto al centro de la Tierra.

  3. Energía mínima necesaria para ponerlo en órbita y velocidad de escape de la misma.

Datos: G = 6,67·10-11 N·m²·kg-2 ; MT = 5,97·1024 kg ; RT = 6,38·106 m

SOLUCIÓN

  1. Según el enunciado, el radio de la órbita será:

R = RT + h = 2,958·107 m

  1. Para hallar el periodo orbital podemos recurrir a la 3ª ley de Kepler, o bien, al tratarse de una órbita circular y la velocidad orbital será constante, podemos hallarlo a partir de:

(1)

Teniendo en cuenta que la velocidad orbital corresponde a:

Despejando el periodo T de la expresión (1), se obtiene:

T = 50642 s

El valor del momento angular del satélite (L) respecto al centro de la Tierra lo hallamos a partir de la masa del satélite, del valor del radio de su órbita y del valor de la velocidad orbital del satélite, teniendo en cuenta que el ángulo formado por los vectores r y v es de 90º (órbita circular):

L = 5,43·1013 kg·m·s-2

  1. La energía mínima para ponerlo en órbita la deben comunicar los motores de la nave y debe corresponder a la variación de la energía mecánica del satélite:

Recordando que la energía mecánica en órbita circular equivale a la mitad de la Energía potencial a esa distancia

Sustituyendo los valores, se obtiene:

Wmotores = E Mínima = 2,78·1010 J

 

Para hallar la velocidad de escape desde la órbita planteamos el principio de conservación de la energía de modo que la energía que posee el satélite en la órbita mas el suplemento de energía que debe comunicársele (ΔE) será igual a la energía total justo en el punto en el que abandona el campo gravitatorio (infinito). En ese punto podemos considerar que la energía mecánica es 0 (corresponde al origen de referencia de la energía potencial y vamos a calcular el valor de velocidad mínimo que corresponde a la velocidad de escape)

Luego:

ΔE = - EM (órbita)

Simplificando y sustituyendo los valores, se obtiene:

vescape = 3670 m/s

Esta velocidad debe asociarse a la energía suplementaria que debe comunicarse al satélite para que "escape" de la atracción gravitatoria de la Tierra.