Septiembre 03-04, Opción A

1. Momento angular de una partícula: Definición; teorema de conservación.

2. Un satélite artificial de masa m = 500 kg describe una órbita circular en torno a la Tierra, a una altura h = 600 km sobre su superficie. Calcula el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. Si la órbita está en el plano ecuatorial, ¿qué dirección tiene el vector momento angular, L?. ¿Es el vector L un vector constante?. ¿Por qué?.

G = 6,67·10^-11 N m² kg^-2; Masa y Radio de la Tierra, M_T = 5,97·10²⁴ kg, R_T = 6,37·10⁶ m

1. Momento angular (L) de una partícula de masa "m" que se mueve con una velocidad "v" respecto al origen de referencia "O" es igual al producto vectorial del vector posición "r" y el vector momento lineal "p".

El resultado del producto vectorial de los dos vectores corresponde a otro vector que tiene las siguientes características:

Módulo del vector "L": viene dado por la expresión L = m·v·r·sen a , siendo a el ángulo formado por los vectores "r" y "p".

Dirección del vector "L": es perpendicular al plano formado por los vectores "r" y "p".

Sentido del vector "L": es el sentido de giro de un sacacorchos que gira según el sentido del vector "r" sobre el vector "p".

Teorema de conservación:

Para hallar las condiciones en las que el momento angular permanece constante se halla su derivada respecto al tiempo.

Los vectores "v" y "p" son paralelos; por lo tanto su producto vectorial es cero.

El producto vectorial de los vectores "r" y "F" representa el momento de fuerza, M_F,

Así que, se puede concluir que la variación del momento angular de una partícula respecto al tiempo viene medida por el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula.

Las condiciones para las que el momento angular permanece constante deben cumplir que su derivada respecto al tiempo sea cero.

Para que esto se cumpla, el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula sea cero.

El momento de la fuerza será cero en los casos siguientes:

Ø No actúa ninguna fuerza.

Ø Los vectores "r" y "F" son paralelos. Éste es el caso de las llamadas fuerzas centrales, fuerzas dirigidas siempre a un punto concreto, que en este caso es el origen de referencia.

El momento angular de una partícula respecto a un punto de referencia permanece constante si sobre ella no se ejercen fuerzas o si las fuerzas que actúan son centrales.

 

2. El momento angular de un satélite en órbita alrededor de la Tierra respecto al centro de la misma, considerado como una masa puntual, se puede hallar a partir de la masa del satélite, el radio de la órbita y la velocidad orbital del satélite:

Hallamos en primer lugar la velocidad orbital del satélite:

 

Sustituyendo en la expresión del momento angular y, teniendo en cuenta que el ángulo que forman los vectores r y v es de 90º,

 

L₀ = (6,37·10⁶ + 0,6·10⁶) · 500 · 7558 = 2,63·10¹³ kg·m²/sg

 

Ø Por definición, el producto vectorial de dos vectores es otro vector que tiene de módulo el producto de los módulos de ambos vectores, la dirección es perpendicular al plano que determinan ambos vectores y el sentido determinado por el avance de un sacacorchos que gira en el sentido del primer vector sobre el segundo.

En el caso de que la órbita está en el plano ecuatorial, la dirección del vector momento angular del satélite será perpendicular a ese plano, esto es, dirección polo norte-polo sur.

 

Ø En el movimiento del satélite alrededor de la Tierra, la única fuerza que actúa es la de atracción que ejerce la Tierra sobre el satélite y es una fuerza de tipo central (y por lo tanto, paralela al vector posición del satélite respecto al centro de la Tierra r).

Según lo explicado en el apartado a), una de las condiciones en las que el momento angular se mantiene constante corresponde al caso de la existencia de fuerzas centrales.

Por lo tanto, el vector momento angular del satélite respecto a la Tierra se mantiene constante en toda la órbita.