Septiembre 00/01 Opción B
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  1. Momento angular de una partícula: definición; teorema de conservación.
  2. Un cometa realiza una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos. El cociente entre las distancias máxima (afelio) y mínima (perihelio) del cometa al centro del Sol es RA /RP = 100. Calcula la relación entre las velocidades del cometa en esos dos puntos, vA/vP.

 

SOLUCIÓN

  1. Momento angular (L) de una partícula de masa "m" que se mueve con una velocidad "v" respecto al origen de referencia "O" es igual al producto vectorial del vector posición "r" y el vector momento lineal "p".

El resultado del producto vectorial de los dos vectores corresponde a otro vector que tiene las siguientes características:

Módulo del vector "L": viene dado por la expresión L = m·v·r·sen a , siendo a el ángulo formado por los vectores "r" y "p".

Dirección del vector "L": es perpendicular al plano formado por los vectores "r" y "p".

Sentido del vector "L": es el sentido de giro de un sacacorchos que gira según el sentido del vector "r" sobre el vector "p".

Teorema de conservación:

Para hallar las condiciones en las que el momento angular permanece constante se halla su derivada respecto al tiempo.

Los vectores "v" y "p" son paralelos; por lo tanto su producto vectorial es cero.

El producto vectorial de los vectores "r" y "F" representa el momento de fuerza, MF,

Así que, se puede concluir que la variación del momento angular de una partícula respecto al tiempo viene medida por el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula.

Las condiciones para las que el momento angular permanece constante deben cumplir que su derivada respecto al tiempo sea cero.

Para que esto se cumpla, el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula sea cero.

El momento de la fuerza será cero en los casos siguientes:

Ø No actúa ninguna fuerza.

Ø Los vectores "r" y "F" son paralelos. Éste es el caso de las llamadas fuerzas centrales, fuerzas dirigidas siempre a un punto concreto, que en este caso es el origen de referencia.

El momento angular de una partícula respecto a un punto de referencia permanece constante si sobre ella no se ejercen fuerzas o si las fuerzas que actúan son centrales.

 

  1. La única fuerza que actúa sobre el cometa en su órbita elíptica alrededor del Sol es la de atracción gravitatoria. Esta fuerza es central (vectores posición (r) y fuerza (F) paralelos). Por lo tanto, el momento angular del cometa respecto al Sol se mantiene constante a lo largo de la órbita.

Aplicando esa constancia a los dos puntos indicados en el enunciado (perihelio y afelio):

Organizando la igualdad, y teniendo en cuenta que el ángulo entre los dos vectores en ambos puntos es de 90º, se obtiene un valor para la relación entre las velocidades en el afelio y perihelio de: