Junio 97/98, Opción A
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  1. Explica el concepto de energía potencial gravitatoria. ¿Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra masa M?.

  2. La energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m en las proximidades de la superficie de un planeta, (por ejemplo la Tierra), puede expresarse en la forma aproximada Ep = m g h, donde h es la altura respecto a un cierto nivel de referencia. ¿En qué circunstancias es válida esta expresión?. El mencionado nivel de referencia, ¿debe ser necesariamente la superficie del planeta?. Razona tus contestaciones.

 

SOLUCIÓN

  1. Energía potencial gravitatoria: Es la energía potencial de una partícula de masa m asociada a la posición que ocupa en un campo gravitatorio creado por otra partícula de masa M.

Como la fuerza de atracción gravitatoria es una fuerza conservativa, el trabajo desarrollado por esa fuerza únicamente depende de la posición inicial y final, pero no depende de la trayectoria seguida.

En estas condiciones, el trabajo desarrollado por la fuerza conservativa lleva asociada una función de energía potencial cambiada de signo, o dicho de otro modo, la variación negativa de la energía potencial gravitatoria viene medida por el trabajo desarrollado por la fuerza de atracción gravitatoria:

Como lo que en realidad interesa es la variación de la energía potencial, basta con asociar a una posición de referencia inicial el valor de energía potencial igual a 0. Por ejemplo, se asigna el valor de energía potencial igual a cero al punto en el que la fuerza gravitatoria sea cero. Pero se puede tomar cualquier otro punto de referencia.

Según este resultado, la energía potencial gravitatoria corresponde al trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, cambiado de signo, para trasladar la masa m desde el infinito hasta la distancia r de la masa M.

Energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de masa M.

Teniendo en cuenta lo expresado anteriormente, basta calcular el trabajo (cambiado de signo) realizado por la fuerza gravitatoria desde el infinito hasta el punto situado a una distancia r de la masa M.

 

Resolviendo la integral, se obtiene una expresión para la energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de mas M

 

  1. La energía potencial del sistema formado por una partícula de masa m y un planeta de masa M, se puede expresar como:

 

y situamos el nivel de referencia en el infinito: EP(¥ ) = 0

Veamos qué ocurre en las proximidades de la superficie del planeta, es decir cuando la altura sobre la superficie de planeta, h, es mucho menor que el radio del planeta R:

h <<R

Obviamente, las energías potenciales cuando está sobre la superficie y cuando está a una altura h serán prácticamente iguales, pero no podemos despreciar su diferencia. Veamos cuál es dicha diferencia de energía potencial:

 

h es muy pequeña frente a R por lo que podemos aproximar el valor del paréntesis por 1/R

Así pues:

Pero, dada la pequeña distancia que nos hemos movido, h, podemos considerar que el campo gravitatorio no ha variado. Podemos expresar la intensidad de este campo como:

Por lo que, sustituyendo en la expresión obtenida, concluimos:

Expresión válida en las condiciones fijadas: proximidades de la superficie: h<<R

Y, como lo que estamos expresando es la variación de energía potencial entre dos puntos próximos a la superficie con una diferencia de altura sobre la misma igual a h, el nivel de referencia se puede colocar en la superficie o en el punto deseado siempre que sigamos cumpliendo la condición previa