Junio 94/95, Opción B
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La NASA pretende lanzar un satélite geoestacionario de telecomunicaciones, pero en el último momento el Congreso reduce el presupuesto destinado al proyecto, de forma que la energía disponible para el lanzamiento queda reducida a la mitad de la estrictamente necesaria. A pesar de todo, se lanza el satélite.

  1. Determinar el radio de la órbita circular que podría conseguirse con la nueva energía de lanzamiento.

  2. Enunciar la tercera ley de Kepler y comprobarla para el caso de una órbita circular.

Datos: RT = 6,37·106 m; MT = 6·1024 Kg; G = 6,67·10-11 N·m˛/kg˛

 

SOLUCIÓN

  1. Como la única fuerza que se ejerce sobre el satélite es la de la atracción gravitatoria, y se trata de una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva.

En primer lugar realizamos el cálculo de la energía necesaria para la puesta en órbita de un satélite geoestacionario de radio "r".

El término geoestacionario significa que el periodo de rotación del satélite coincide con el de la Tierra. T = 1 día

(EM)punto de lanzamiento = (EM)órbita

(EC + EP)punto de lanzamiento = (EC + EP)órbita

Como se trata de una órbita circular, la velocidad orbital se puede calcular a partir de que la fuerza de atracción que ejerce la Tierra comunica al satélite una aceleración centrípeta.

Sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene la energía necesaria para la puesta en órbita del satélite geoestacionario:

Para calcular el radio de la órbita geoestacionaria partimos de la tercera ley de Kepler:

Despejando r (y teniendo en cuenta que T = 1 día) se obtiene un valor:

r = 4,23·107 m

Tal y como dice el enunciado, el lanzamiento se lleva a cabo, pero con una energía igual a la mitad de la calculada anteriormente.

Realizando un planteamiento similar al anterior y llamando "r’" el radio de la nueva órbita:

En este caso, 

Sustituyendo la expresión de la velocidad orbital y simplificando, se obtiene:

Despejando el radio de la nueva órbita:

r’ = 5,92·106 m

El valor obtenido para el radio de la nueva órbita es menor que el radio de la Tierra, por lo tanto se llega a la conclusión de que el lanzamiento es imposible con ese valor de la mitad de la energía necesaria.

  1. La tercera ley de Kepler se puede enunciar del modo siguiente:

"el cociente entre el cuadrado de los periodos de rotación de los planetas y el cubo de sus distancias medias al Sol se mantiene constante"

La comprobación que ese cociente se mantiene constante se puede realizar, para una órbita circular, partiendo de la Ley de gravitación universal de Newton.

La única fuerza que actúa sobre el planeta es la de atracción gravitatoria por parte del Sol, y es perpendicular a la velocidad; por lo tanto le comunica una aceleración centrípeta al planeta:

FG = mp·ac

Recordando que la aceleración centrípeta corresponde al cociente entre la velocidad al cuadrado y el radio de giro (ac = v2 /r) y, como se trata de una órbita circular, la velocidad se puede calcular por el cociente entre la longitud recorrida en una vuelta completa (2·p ·r) y el tiempo invertido (T), se puede expresar de este modo:

Reorganizando los términos anteriores, se llega a:

El primer miembro corresponde a la tercera ley de Kepler.

De la igualdad anterior se deduce que la constante "k" de la tercera ley de Kepler es realmente constante para todos los planetas que orbiten alrededor del Sol, ya que depende de la constante de gravitación universal (G) y de la masa del Sol (M), también constante.